Математическое открытие.
Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание.
М.: Наука, 1976. 448 с.
Тираж 95000 экз.
| |||||||||||
Книга является ценным пособием для учителей математики средней школы и преподавателей педагогических вузов. В тесной связи рассматриваются вопросы "Как это решить?" и "Как научить это решать?", поэтому немало места занимают методологические рекомендации, а также вопрос о том, как возникают новые математические идеи, анализируется процесс решения задачи - процесс "математического открытия".
Содержание
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ЧАСТНЫЕ МЕТОДЫ.
Глава 1. Метод двух геометрических мест.
§ 2. От примера к методу.
§ 3. Примеры.
§ 5. Метод подобия.
§ 6. Примеры.
[7. Обозначения. 15. Три маяка. 46. Изъян. 47. Взгляд назад. 48. Три наблюдательных пункта. 49. Замечания по поводу метода двух геометрических мест. 50. Метод трех геометрических мест. 52. О геометрических построениях. 53. Дополнительные задачи. 54. Множества.]
Глава 2. Метод Декарта.
§ 2. Задачка.
§ 4. Школьные задачи.
§ 6. Пример из физики.
[10. Аналог формулы Герона. 11. Другой аналог теоремы Пифагора. 12. Еще один аналог теоремы Пифагора. 13. Другой аналог формулы Герона. 17. Разное. 28. Как долог был век Диофанта? 29. Египетская задача. 33. Планиметрия. 34. Ньютон о составлении уравнений при решении геометрических задач. 50. Стереометрия. 60. Неравенство. 61. Сферометр. 63. Атом углерода. 64. Фотометр. 65. График движения. 73. Число уравнений равно числу неизвестных. 74. Число уравнений больше числа неизвестных. 76. Число уравнений меньше числа неизвестных. 77. Диофантовы уравнения. 81. Правила Декарта. 82. Обнажите задачу и расчлените ее. 83. Дополнительные сведения, необходимые для решения задачи. Мобилизация и организация. 84. Независимость и совместность. 85. Единственность решения. Взгляд вперед. 86. Зачем нужны, словесные задачи? 87. Дополнительные задачи.]
Глава 3. Рекурсия.
§ 2. Дар небес.
§ 4. Рекурсия.
§ 5. Абракадабра.
§ 6. Треугольник Паскаля.
[2. Частный случай эквивалентен общему случаю. 11. Спасение затонувшего судна. 22. Два вида математической индукции. 24. Сочетания. 39. Треугольные числа. 40. Пирамидальные числа. 43. Числа Фибоначчи. 48. Триномиальные коэффициенты. 55. Гармонический треугольник Лейбница. 56. Паскаль и Лейбниц. 60. Степенные ряды. 66. Биномиальная формула для дробных и отрицательных показателей. 70. Расширение области определения символа С. 76. Метод неопределенных коэффициентов. 81. Обращение степенного ряда. 87. Дифференциальные уравнения. 99. О числе π. 100. Другие задачи.]
Глава 4. Суперпозиция.
§ 1. Интерполяция.
§ 2. Частный случай.
§ 4. Метод суперпозиции.
[11. Линейная комбинация или суперпозиция. 12. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. 14. Однородные линейные разностные уравнения с постоянными коэффициентами. 15. Числа Фибоначчи. 17. Суперпозиция движений. 18. Разнообразие подходов при решении одной задачи. 19. Что представляет собой неизвестное? 21. Вот уже решенная задача, родственная вашей. 23. Дополнительные сведения. 25. Формула объема призматоида. 31. Никакая цепь не прочнее своего слабейшего звена. 33. Формула Симпсона. 37. Расширение области исследования.]
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. НА ПУТИ К ОБЩЕМУ МЕТОДУ.
Глава 5. О задачах.
§ 1. Что такое задача?
§ 2. Классификация задач.
[8. Задача на нахождение или задача на доказательство? 9. Доугие задачи 10. Процедура решения задачи может состоять из неограниченной последовательности операций. 11. Квадратура круга. 12. Следование и следствие. 13. Неудачная терминология, двусмысленность. 14. Данные и неизвестное, условие (предпосылка) и заключение. 15. Число необходимых данных. 20. Изучая решение.]
[1. Условие, состоящее из многих пунктов. 9. Сохраните только часть условия. 10. Нить Ариадны. 20. Другие задачи. 21. Промежуточная цель. 22. Графическое представление. 23. Некоторые типы задач нематематического характера. 27. Более тонкая классификация.]
§ 1. Метафоры.
§ 2. Что такое задача?
§ 3. Есть идея!
§ 4. Развитие идеи.
§ 5. Оформление решения.
§ 8. План и программа.
§ 9. Задачи внутри задач.
§ 10. Зарождение идеи.
§ 11. Умственная работа.
§ 12. Дисциплина ума.
[1. Другой подход. 4. Поиски доказательства и Простейшие диаграммы. 6. Другие задачи.]
Глава 8. План и программа.
§ 2. Более общий метод.
§ 3. Программа.
§ 5. План и программа.
§ 6. Метод и план.
[1. От конца к началу или от начала к концу? В обратном направлении или в прямом направлении? Анализ или синтез? 2. Умный начинает с конца. 4. Выбор между тремя планами. 5. Выбор между двумя планами. 6. Реальный план. в. Не связывайте себя.]
Глава 9. Задачи внутри задач.
[1. Надежные источники вспомогательных задач? 2. Respice finem. 3. Omбрасывание или добавление пункта в условии. 4. Расширение или сужение условия. 5. Изучение более сильной или более слабой теоремы. 11. Поиски противоречащего примера. 12. Годится любое найденное решение. 13. Специализация и обобщение. 14. Аналогия. 15. А что если неудача? 16. Другие задачи.]
Глава 10. Зарождение идеи.
§ 1. Проблеск света.
§ 2. Пример.
[1. Внезапность появления идеи. Одна цитата и комментарий к ней. 2. Два эксперимента.]
Глава 11. Умственная работа.
§ 1. Как мы думаем.
§ 4. Близость решения.
§ 5. Предвидение.
§ 6. Область поисков.
§ 11. Изоляция и комбинация.
§ 12. Диаграмма.
[1. Ваш опыт, ваше суждение. 2. Мобилизация. 3. Прозрение. 4. Часть подсказывает целое. 5. Распознавание. 6. Перегруппировка. 7. Работа изнутри и работа извне. 8. Эвристический лабиринт. 9. Продвижение вперед. 10. Вы такой же, как я. 11. Мыши и люди.]
Глава 12. Дисциплина ума.
§ 1. Как надо думать.
§ 3. Оценка перспектив.
[1. Изиените формулировку задачи. 2. Выразите задачу на языке математики. 4. Хорошо составленный и хорошо упорядоченный запас знаний. 5. При помощи каких данных можно определить подобное неизвестное? 6. Из какого условия (предпосылки) можно вывести такое заключение? 7. Сведения, относящиеся к рассматриваемому вопросу. 8. Аналогия между треугольником и тетраэдром. 12. Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? 13. Вернитесь к определениям. 14. Исследование ближайшей окрестности. 15. Внимание и действие. 16. Продуктивное мышление, творческое мышление.]
Глава 13. Законы открытия?
§ 2. Рациональность.
§ 6. Части задачи.
§ 7. Полезные сведения.
§ 9. Резюме.
[1. Одаренный человек, специалист и начинающий. 2. О плодах и планах. 3. Стиль работы.]
§ 2. Цель обучения.
§ 6. Примеры.
§ 8. Позиция учителя.
[2. Високосные годы. 6. Почему именно решение задач? 7. Решение задач и построение теории. 8. Решение задач и общая культура. 9. Язык фигур. 10. рациональные и иррациональные числа. 11. Строгость рассуждений. 12. Может ли географическая карта быть совершенной? 13. Чему мы должны учить? 14. Генетический принцип. 15. Бесплодные словоизлияния. 16. Путаница в уровнях. 17. Айседора Дункан. 18. Уровни знания. 19. Повторение и контраст. 20. Изнутри и извне. 22. Насколько это трудно? 23. Трудность задачи и ее образовательная ценность. 24. Несколько типов задач. 27. Семестрозая работа. 28. О выступлениях на математических конференциях, правила Цермело. 29. Эпилог.]
Глава 15. Догадка и научный метод.
§ 2. Пример.
§ 3. Обсуждение.
§ 4. Еще один пример.
§ 9. Выводы.
[24. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований 25. Буриданов осел. 40. Принцип Отсутствия Достаточных Оснований в физике, или "Природа не смеет быть непредсказуемой". 41. n точек сферы. 42. Другие задачи. 45. Периодические дроби. 49. Трапецеидальные числа. 64. Еще одно задание исследовательского характера. 58. Предположение и факт.]
| |||||||||||
Постоянный адрес этой страницы: http://math.ru/lib/252